Pasaules kausa posmos viņš startē kopš 2003. gada. Līdz tam viņš piedalījās Eiropas kausā un dažādos junioru čempionātos. Jānis izcīnīja iespēju 2003./04. gada sezonā Latvijai pieteikt trīs ekipāžas katrā sacīkstē, tomēr šī iespēja netika izmantota, jo domstarpību dēļ ar Latvijas bobsleja federāciju savu karjeru togad beidza tobrīdējais izlases līderis Sandis Prūsis.
Lai gan sākotnēji sportists bija Latvijas 2. ekipāžas vadītājs, ar laiku viņš izkonkurēja Gati Gūtu, kurš beidza karjeru 2006. gadā pēc Olimpiskajām spēlēm. 2006./07. gadu sezonas "četrinieku" kopvērtējumā Jānis Miņins izcīnīja 4. vietu. 2008. gadā izcīnīja Eiropas čempiona titulu "četriniekos". Tā kā EČ sacīkstes iet arī Pasaules kausa ieskaitē, tā reizē bija arī Miņina pirmā uzvara. Pēc nedēļas, Sanktmoricas trasē, Miņins izcīnīja savu otro uzvaru pēc kārtas un sezonas noslēgumā ieņēma 3. vietu kopvērtējumā. Togad latviešu bobslejists laboja arī savu personīgo rekordu "divnieku" kopvērtējumā Pasaules kausā. 2008./09. un 2009./10. gada Pasaules kausa kopvērtējumā latvietis izcīnīja 2. vietu "četrinieku" ieskaitē.
